Cálculo de constantes físicas adimensionales

por Dr. Bruce D. McLaughlin

Una constante física adimensional es una característica numérica esencial del espacio, el tiempo, la materia y la energía expresada como un número puro. Tales constantes desempeñan un papel central en la física porque son intrínsecamente invariantes frente a cambios en las unidades de medida. Históricamente, estas constantes fueron fundamentales porque no podían derivarse de principios fundamentales. Sin embargo, en la década de 1920, Arthur Eddington persiguió la idea de que las constantes físicas adimensionales podrían obtenerse a partir de la matemática pura. El funcionamiento del universo podría surgir únicamente de las matemáticas abstractas, sin unidades, sin necesidad de insumos empíricos, más allá de establecer un punto de partida para los cálculos. Los esfuerzos de Eddington generalmente no tuvieron éxito. Esta nota técnica tiene la intención de revivir sus esfuerzos y llevarlos al siguiente nivel. Se usan dos constantes físicas adimensionales a modo de ilustración: (1) la constante de estructura fina ($\alpha$) y (2) la relación de la masa de reposo electrón/protón ($\gamma$). Si la conjetura propuesta es teóricamente sólida, entonces Arthur Eddington habría sido vindicado en este asunto.

Análisis

La conjetura fundamental es que existe al menos una serie de potencias infinita en la variable $\omega$ (constante física adimensional), donde$1>\omega >0$, de la forma

$\mathrm{\Delta }$($\omega$) = ${\sum }_{n=1}^{\infty }{F}_n$($\tau ,\phi ,\omega )$ = 0 (1)

Esta serie de potencias converge a cero y satisface la prueba de razón para la convergencia. $\tau$y $\phi$ representan dos de los cuatro números $\pi$, 22-6$\sqrt{13}$, 2$\sqrt{3}$ y 22+6$\sqrt{13}$. La selección de estos números particulares será abordada más adelante.

El primer paso para especificar $\mathrm{\Delta }$($\omega$) es seleccionar una estimación para $\omega$; el propósito de esta estimación es permitir la selección de exponentes en términos sucesivos de la serie infinita. El número 0.0072973525643 se usó como estimación para la Constante de Estructura Fina, y el número 0.000544617 se usó como estimación para la relación de la masa de reposo electrón/protón. Si los valores calculados subsiguientes de $\omega$ son precisos a más dígitos que las estimaciones, esa característica no puede atribuirse únicamente a las estimaciones.

El primer término de la serie es $-{\omega }^{-1}$. El segundo término es ${\tau }^x{\phi }^y$ donde x e y se seleccionan para hacer $-{\omega }^{-1}$ + ${\tau }^x{\phi }^y$ lo más cercano posible a cero. El tercer término es una función simple de $\tau$ y $\phi$ multiplicada por $\omega$ para hacer $-{\omega }^{-1}$ + ${\tau }^x{\phi }^y$ + $f(\tau ,\phi )\omega$ lo más pequeño posible. Cada término restante tiene la forma ${\tau }^{\theta }{\phi }^{\vartheta }{\omega }^{\mu }$ en la que$\mu$ es un entero positivo que aumenta en 1 en cada término sucesivo. Si $\tau >1$entonces $\theta$ es un entero positivo; si $\tau <1$entonces $\theta$ es un entero negativo. Si $\phi >1$entonces $\vartheta$ es un entero positivo; si $\phi <1$entonces $\vartheta$ es un entero negativo. Por elección, $\tau >\phi$.

La estimación de ${\omega }^{\mu }$ se usa como punto de partida para cada término después del tercero. Entonces $\left|\theta \right|$ se incrementa hasta ${\tau }^{\theta +1}{\omega }^{\mu }(or{\tau }^{\theta -1}{\omega }^{\mu }$ si $\theta$ es negativo) es apenas mayor que la magnitud de la suma previa. En otras palabras, ${\tau }^{\theta }{\omega }^{\mu }isbarelylessthanthemagnitudeoftheprevioussum.$ A continuación, $\left|\vartheta \right|$ se incrementa hasta ${\tau }^{\theta }{\phi }^{\vartheta }{\omega }^{\mu }$ sea apenas menor que la magnitud de la suma previa. En otras palabras, ${\tau }^{\theta }{\phi }^{\vartheta +1}{\omega }^{\mu }$ es apenas mayor que la magnitud de la suma precedente. Finalmente, se adjunta un signo al término para asegurar que la magnitud de la siguiente suma sea menor que la magnitud de su predecesora. Esta regla no es ambigua y produce un término único para cada índice que hace que la serie sea matemáticamente legítima. Esta regla también fuerza a la serie a satisfacer la prueba de razón y a converger a cero.

Después de agregar cada término, la suma de términos se iguala a cero y se puede emplear NSolve o FindRoot (Mathematica) para resolver $\omega$ que se considera la única incógnita en la ecuación. Este paso del proceso se ve debilitado por dos factores principales. Primero, las limitaciones de precisión de Mathematica requieren truncar y reiniciar el cálculo aproximadamente cada 30 términos. Segundo, la serie infinita se trunca en un término particular para cada cálculo; se iguala a cero una suma parcial y no la suma infinita. La influencia general en la precisión de estas dos deficiencias no ha sido determinada.

Si se hace una mala elección de los exponentes en un término particular y la magnitud de la suma parcial aumenta, entonces se requerirán una a tres iteraciones más para hacer una corrección y fijar un dígito. Una a tres iteraciones fijan un dígito en la expresión para $\omega$ y ese dígito no cambiará con iteraciones posteriores. Todo este proceso manual podría automatizarse mediante un programa adecuado.

El enfoque general para calcular constantes físicas adimensionales representa un modelo autoconsistente, casi de punto fijo, en el que una constante se define implícitamente por una serie cuyos términos dependen de la propia constante. Además, el último término calculado en la serie es virtualmente del mismo orden de magnitud que la última suma calculada de términos. Si las constantes físicas adimensionales tienen su origen en series infinitas relativamente simples y no en los recovecos profundos de la mecánica cuántica, la teoría de cuerdas y la relatividad, entonces las matemáticas son verdaderamente la piedra angular de la ciencia.

Constante de Estructura Fina

Para la constante de estructura fina, la Ecuación (1) puede escribirse como:

$\mathrm{\Delta }$($\alpha$) = ${\sum }_{n=1}^{\infty }{F}_n$($b,\pi ,\alpha )$ = 0 (2)

la cual converge a cero y satisface la prueba de razón para la convergencia. Las variables b = 22+6$\sqrt{13}$ y $\pi$ = 3.141592... son parámetros independientes y $\pi b$ = 137.078… que es casi igual a ${\alpha }^{-1}$= 137.035… La estructura de la serie usada para el cálculo es:

$\mathrm{\Delta }\left(\alpha \right)$ = ${-\alpha }^{-1}$ + $b\pi$ – $(2\pi -1/2)\alpha$ + 2${\alpha }^2$ + b${\alpha }^3$ - $b{\pi }^2{\alpha }^4$+ $b^2\pi {\alpha }^5$ ... (3)

Cada término restante en la serie tiene la forma $b^{\theta }{\pi }^{\vartheta }{\alpha }^{\mu }$ y cada término sucesivo incrementa el valor de $\mu$ en 1. El término final en la prueba actual es $-b^{64}{{\pi }^2\alpha }^{78}$ que corresponde a -1.860*10^-61 mientras que la suma de términos es -6.988*10^-62. Después de agregar cada término, la expresión algebraica para la suma de términos se iguala a cero y se usa NSolve o FindRoot (Mathematica) para resolver $\alpha$.

El valor calculado de $\alpha$ con una cuasi-precisión de 60 es:

0.00729735256429999992416860274723885002506940170167664094552769

comparado con el valor CODATA 2022 actual de:

0.0072973525643

Pero tenga en cuenta los problemas de precisión no resueltos asociados con este enfoque.

Si es direccionalmente correcto, esta relación funcional entre b, $\pi$ , y $\alpha$ muestra la promesa de permitir que la Constante de Estructura Fina se calcule con precisión arbitraria. También abordaría las preocupaciones de Feynman sobre este asunto:

Inmediatamente te gustaría saber de dónde viene este número para un acoplamiento: ¿está relacionado con pi o tal vez con la base de los logaritmos naturales? Nadie lo sabe. Es uno de los mayores malditos misterios de la física: un número mágico que nos llega sin comprensión por parte de los humanos. Podrías decir que la "mano de Dios" escribió ese número, y "no sabemos cómo Él movió su lápiz". Sabemos qué tipo de baile realizar experimentalmente para medir este número con mucha precisión, pero no sabemos qué tipo de baile realizar en la computadora para hacer que este número salga — ¡sin introducirlo secretamente! Feynman, R. P. (1985). QED: The Strange Theory of Light and Matter. Princeton University Press. p. 129. ISBN 978-0-691-08388-9

Relación de la masa de reposo electrón/protón

Para la relación de la masa de reposo electrón/protón, la Ecuación (1) puede escribirse como:

$\mathrm{\Delta }$($\gamma$) = ${\sum }_{n=1}^{\infty }{F}_n$($b,c,\gamma )$ = 0 (4)

la cual converge a cero y satisface la prueba de razón para la convergencia. Las variables b = 22+6$\sqrt{13}$ y c = 2$\sqrt{3}$ son parámetros independientes y $b{c}^3$ = 1813.79… que es casi igual a ${\gamma }^{-1}$= 1836.15267… La estructura de la serie usada para el cálculo es:

$\mathrm{\Delta }\left(\gamma \right)$ = ${-\gamma }^{-1}$ + $b{c}^3$ + $\left(1/2\right)b^2{c}^3\gamma$ + $b^3{c}^3{\gamma }^2$ - $b^4{c}^5{\gamma }^3$ + $b^5{c}^6{\gamma }^4$ + $b^8{c}^3{\gamma }^5$... (5)

Cada término restante en la serie tiene la forma $b^{\theta }{c}^{\vartheta }{\gamma }^{\mu }$ y cada término sucesivo incrementa el valor de $\mu$ en 1. El término final en la prueba actual es $-b^{156}{\gamma }^{96}$ que corresponde a -2.995*10^-58 mientras que la suma de términos es -7.998*10^-59. Después de agregar cada término, la expresión algebraica para la suma de términos se iguala a cero y se usa NSolve o FindRoot (Mathematica) para resolver $\gamma$.

El valor calculado de $\gamma$ con una precisión de 60 es:

0.000544616999999999920804463029216992919609032592001902690208433

comparado con el valor actual de:

0.000544617021

Pero tenga en cuenta los problemas de precisión no resueltos asociados con este enfoque.

Origen de los parámetros

Aunque el autor tuvo una razón particular para seleccionar los números $\pi$, 22-6$\sqrt{13}$, 2$\sqrt{3}$ y 22+6$\sqrt{13}$ como valores potenciales para $\tau$y $\phi$, el lector no tiene que aceptar la legitimidad de esta razón para aceptar la legitimidad del algoritmo presentado aquí. En otras palabras, el lector puede ver estos cuatro números como conjeturas serendipiosas sin afectar el algoritmo para determinar constantes físicas adimensionales. Sin embargo, en verdad, estos cuatro números fueron extraídos de los primeros nueve caracteres de Génesis en la Biblia hebrea.

Comencemos con $\pi$ . Primero invierta la secuencia de caracteres, en el primer capítulo de Génesis, de modo que los caracteres se lean de izquierda a derecha. A continuación, conecte los tres primeros caracteres contiguos en el primer versículo de Génesis para formar una cadena. Ahora represente cada uno de los caracteres hebreos por un triplete en base 3 (vector columna) según una regla que comienza con Aleph como (000)^T y termina con Tsadey Final como (222)^T. Los tres vectores columna son (001^T,201^T,000^T). Estos tres tripletes en base 3 crean una matriz de 3 por 3 que tiene los elementos 0, 1 y 2:

020

Ayz = 000 (6)

110

El primer vector propio de (Ayz)(Ayz)^T es ($\rho$,0,1) donde $\rho$ es la Razón Áurea que está, a su vez, relacionada con $\pi$ por:

π = (5) cos^-1($\rho$/2) (7)

La Razón Áurea y por lo tanto $\pi$ están, por tanto, ocultas en los tres primeros caracteres hebreos de Génesis.

Un camino hacia los tres números restantes es un poco más tedioso. Primero, introduzca los vectores columna (202^T,100^T,210^T) y (001^T,201^T,000^T) que representan los segundos tres y terceros tres caracteres en el primer versículo de Génesis. Estos tripletes en base tres crean dos matrices adicionales de 3 por 3:

212

Byz = 001 (8)

200

020

Cyz = 000 (9)

110

Observe que Ayz y Cyz son idénticas, por lo que realmente solo tenemos dos matrices independientes con 0, 1 y 2 como elementos. Ahora apile estas tres matrices juntas para formar lo que parece un Cubo de Rubik. Cada una de las 15 rebanadas a través del cubo produce una matriz de 3 por 3; tres rebanadas cada una paralela a los planos yz, zx y xy y dos rebanadas diagonales perpendiculares a cada plano (denotadas por X). Cada rebanada puede rotarse alrededor de varios ejes para producir ocho matrices de 3 por 3: grupo diedral de orden ocho (D₄). En esta prueba, solo se selecciona una matriz para cada rebanada. Estas 15 matrices pueden luego combinarse por multiplicación de matrices para formar

yz = Ayz.Byz.Cyz.Xyz.Xzy

zx = Azx.Bzx.Czx.Xzx.Xxz (10)

xy = Axy.Bxy.Cxy.Xxy.Xyx

Finalmente, para crear simetría,

x = yz.yz^T

y = zx.zx^T (11)

z = xy.xt^T

Ahora use las instrucciones en la publicación “Characteristic polynomial and higher order traces of third order three dimensional tensors,” by Guimei Zhang and Shenglong Hu, Front. Math China 2019, 14(1): 225-237 para crear una ecuación característica de grado 12. Las soluciones no nulas de esta ecuación son 22-6$\sqrt{13}$, 22+6$\sqrt{13}$, -2+2$i\sqrt{3}$ y -2-2$i\sqrt{3}$.

Por pura conjetura, los números 22-6$\sqrt{13}$, 22+6$\sqrt{13}$, 2$\sqrt{3}$ y $\pi$ fueron seleccionados para crear varias series infinitas que satisfacían la prueba de razón y convergían a cero.

¿Cuáles son las implicaciones de todos estos hallazgos? ¿Representan una concurrencia completamente serendipiosa de física, matemáticas y texto hebreo? ¿O nuestro Dios trascendente, inmanente, infinito, eterno e inmutable nos proporcionó un manual de usuario encriptado dentro de Su Palabra inspirada, inerrante e infalible. El primer versículo de Génesis dice: “En el principio Dios creó la esencia de los cielos y la esencia de la tierra.” Qué lugar más perfecto para encriptar un manual de usuario que revele la física y las matemáticas de esta nueva creación de la nada (bara). Pero, ¿por qué Dios se molestaría en encriptar un mensaje dentro de un mensaje? Una respuesta parcial podría encontrarse en el Nuevo Testamento.

“Porque desde la creación del mundo, las cualidades invisibles de Dios —su poder eterno y naturaleza divina— se han visto claramente, siéndolas entendidas por lo que ha sido hecho, de modo que los hombres están sin excusa” (Romanos 1:20).

Solo se han usado los primeros nueve caracteres de Génesis en este artículo. Las palabras concatenadas de la Torá comprenden una cadena de 304,805 caracteres hebreos. ¿Qué misterios podrían estar encriptados allí?