Cálculo de constantes físicas adimensionales

por Dr. Bruce D. McLaughlin

Se ilustra un algoritmo para calcular constantes físicas adimensionales calculando la Constante de Estructura Fina. El cálculo se basa en álgebra y no emplea los principios de la física.

Introducción

Una constante física adimensional es una característica numérica esencial del espacio, el tiempo, la materia y la energía expresada como un número puro. Tales constantes desempeñan un papel central en la física porque son intrínsecamente invariantes ante cambios en las unidades de medida. Históricamente, estas constantes fueron fundamentales porque no podían derivarse de principios fundamentales. Sin embargo, en la década de 1920, Arthur Eddington persiguió la idea de que las constantes físicas adimensionales podrían obtenerse a partir de la matemática pura. El funcionamiento del universo podría surgir únicamente de matemáticas abstractas sin unidades, sin necesidad de aporte empírico, más allá de establecer un punto de partida para los cálculos. Los esfuerzos de Eddington generalmente no tuvieron éxito. Esta nota tiene la intención de revivir sus ideas y llevarlas al siguiente nivel. La Constante de Estructura Fina, denotada por $\alpha$, se emplea como ilustración. Si la conjetura propuesta es direccionalmente correcta, entonces Arthur Eddington habrá sido reivindicado en este asunto.

Análisis

La conjetura fundamental es que existe al menos una serie de potencias infinita en la variable $\omega$ (constante física adimensional), donde$1>\omega >0$, de la forma

$\mathrm{\Delta }$($\omega$) = ${\sum }_{n=1}^{\infty }{F}_n$($\tau ,\phi ,\omega )$ = 0 (1)

Esta serie de potencias converge a cero y satisface la Prueba del Cociente para la convergencia. $\tau$y $\phi$ representan dos de los cuatro números $\pi$, 22-6$\sqrt{13}$, 2$\sqrt{3}$ y 22+6$\sqrt{13}$. La selección de estos números en particular será abordada más adelante pero otros pares de números pueden ser igualmente satisfactorios.

El primer término de la serie es $-{\omega }^{-1}$. El segundo término es ${\tau }^x{\phi }^y$ donde x e y se seleccionan para hacer $-{\omega }^{-1}$ + ${\tau }^x{\phi }^y$ lo más cercano posible a cero. El tercer término es una función simple de $\tau$ y $\phi$ multiplicada por $\omega$ para hacer $-{\omega }^{-1}$ + ${\tau }^x{\phi }^y$ + $f(\tau ,\phi )\omega$ lo más pequeño posible. Cada término restante es de la forma ${\tau }^{\theta }{\phi }^{\vartheta }{\omega }^{\mu }$ en la que$\mu$ es un entero positivo que aumenta en 1 con cada término sucesivo. Si $\tau >1$ entonces $\theta$ es un entero positivo; si $\tau <1$ entonces $\theta$ es un entero negativo. Si $\phi >1$ entonces $\vartheta$ es un entero positivo; si $\phi <1$ entonces $\vartheta$ es un entero negativo. Por elección, $\tau >\phi$.

Se puede usar un valor de $\omega$ a cualquier nivel conocido de precisión como punto de partida. Para cada término después del tercero, ${\omega }^{\mu }$ se considera como un factor en ${\tau }^{\theta }{\phi }^{\vartheta }{\omega }^{\mu }$. Después de calcular ${\omega }^{\mu },\left|\theta \right|$ se aumenta hasta ${\tau }^{\theta +1}{\omega }^{\mu }(or{\tau }^{\theta -1}{\omega }^{\mu }$ si $\theta$ es negativo) es apenas mayor que la magnitud de la suma anterior. En otras palabras, ${\tau }^{\theta }{\omega }^{\mu }isbarelylessthanthemagnitudeoftheprevioussum.$. Luego, $\left|\vartheta \right|$ se aumenta hasta ${\tau }^{\theta }{\phi }^{\vartheta }{\omega }^{\mu }$ es apenas menor que la magnitud de la suma anterior. En otras palabras, ${\tau }^{\theta }{\phi }^{\vartheta +1}{\omega }^{\mu }$ es apenas mayor que la magnitud de la suma anterior. Finalmente, se asigna un signo al término para asegurar que la magnitud de la siguiente suma sea menor que la magnitud de su predecesora. Esta regla es inequívoca y produce un término único para cada índice que hace la serie matemáticamente legítima. Esta regla también obliga a que la serie satisfaga la Prueba del Cociente y converja a cero.

Este marco, para calcular constantes físicas adimensionales, representa un modelo cuasi de punto fijo auto-consistente donde una constante particular se define implícita por una serie cuyos términos dependen de la propia constante.

Constante de Estructura Fina

Para la Constante de Estructura Fina, la Ecuación (1) puede escribirse como:

$\mathrm{\Delta }$($\alpha$) = ${\sum }_{n=1}^{\infty }{F}_n$($b,\pi ,\alpha )$ = 0 (2)

la cual converge a cero y satisface la prueba del cociente para la convergencia. Las variables b = 22+6$\sqrt{13}$ y $\pi$ = 3.141592... son parámetros independientes y $\pi b$ = 137.078… que es casi igual a ${\alpha }^{-1}$= 137.035… La serie en la Ecuación (3), usada para ilustrar la conjetura, fue construida usando una estimación aproximada para la Constante de Estructura Fina de $\alpha =0.007297$.

$\mathrm{\Delta }\left(\alpha \right)$ = ${-\alpha }^{-1}$ + $b\pi$ – $(2\pi -3/2)\alpha$ - ${\pi }^2{\alpha }^2$ + b${\alpha }^3$ - $b^2{\pi }^2{\alpha }^4$+ $b^2{\pi }^4{\alpha }^5$ ... (3)

Cada término restante en la serie es de la forma $b^{\theta }{\pi }^{\vartheta }{\alpha }^{\mu }$ y cada término sucesivo incrementa el valor de $\mu$ en 1. El último término de la serie es $b^{28}{\pi }^2{\alpha }^{35}$. La Ecuación (2) no se aplica directamente porque la serie en (3) no es infinita. En su lugar, se usó la ecuación

$\mathrm{\Delta }$($\alpha$) = ${\sum }_{n=1}^{37}{F}_n$($b,\pi ,\alpha )$ = $R_1$ (4)

donde $R_1$ puede considerarse como un residuo. Cuando esta serie truncada se evalúa, usando la estimación aproximada $\alpha =0.007297$, el residuo, $R_1$, es igual a -2.732$\times {10}^{-29}$. Ahora aumente la precisión de $\alpha$ en un dígito a 0.0072973; el residuo $R_2$ se vuelve 0.0056324888.... A continuación aumente la precisión de $\alpha$ en un dígito más a 0.00729735; el residuo $R_3$ se vuelve 0.0065711919.... Este cómputo puede continuarse hasta un nivel de precisión de aproximadamente $\alpha$ = 0.007297352564311 que produce un residuo de $R_{10}$= 0.0066193341.... Esto está cerca del nivel de precisión actual para $\alpha .$

Por la conjetura fundamental, la secuencia $R_1$, $R_2$, $R_3$, $R_3$, $R_4$, ... tiene un límite superior, R. Ese límite fue calculado por Mathematica para ser:

R = $0.00661934636627880927661760068759$

Esto corresponde a un valor de la Constante de Estructura Fina de:

$$0.00729735256496044196828721304695258401433871295628262761655433$$

que compara favorablemente con el valor de febrero de 2023, por Fan et.al. de:

0.0072973525649(8)

Una serie infinita construida sobre b, $\pi$, y $\alpha$ puede permitir que la Constante de Estructura Fina se calcule con precisión arbitraria mediante manipulación algebraica. Esto podría atender algunas de las preocupaciones de Feynman. Si las constantes físicas adimensionales tienen su origen en series infinitas relativamente simples y no en los recovecos profundos de la mecánica cuántica, la teoría de cuerdas y la relatividad, entonces todos los misterios emanan de las matemáticas.

Inmediatamente querrías saber de dónde procede este número para una constante de acoplamiento: ¿está relacionado con pi o tal vez con la base de los logaritmos naturales? Nadie lo sabe. Es uno de los más grandes malditos misterios de la física: un número mágico que nos llega sin comprensión por parte de los humanos. Podrías decir que la "mano de Dios" escribió ese número, y "no sabemos cómo Él movió su lápiz." Sabemos qué tipo de danza hacer experimentalmente para medir este número muy exactamente, pero no sabemos qué tipo de danza hacer en la computadora para que salga este número —¡sin meterlo secretamente! Feynman, R. P. (1985). QED: The Strange Theory of Light and Matter. Princeton University Press. p. 129. ISBN 978-0-691-08388-9

Origen de los Parámetros

Aunque el autor tuvo una razón particular para seleccionar los números $\pi$, 22-6$\sqrt{13}$, 2$\sqrt{3}$ y 22+6$\sqrt{13}$ como valores potenciales para $\tau$y $\phi$, el lector no tiene que aceptar la legitimidad de esta razón para aceptar la legitimidad de la conjetura presentada aquí. En otras palabras, el lector puede ver estos cuatro números como conjeturas serendípicas sin afectar el algoritmo para determinar constantes físicas adimensionales. Sin embargo, en verdad, estos cuatro números fueron extraídos de los primeros nueve caracteres de Génesis en la Biblia hebrea.

Comencemos con $\pi$. Primero invierta la secuencia de caracteres, en el primer capítulo de Génesis, de modo que los caracteres se lean de izquierda a derecha. A continuación conecte los primeros tres caracteres contiguos en el primer versículo de Génesis para formar una cadena. Ahora represente cada uno de los caracteres hebreos por un triplete en base 3 (vector columna) según una regla que comienza con Aleph como (000)^T y termina con Tsadey Final como (222)^T. Los tres vectores columna son (001^T,201^T,000^T). Estos tres tripletes en base 3 crean una matriz 3 por 3 con los elementos 0, 1 y 2:

020

Ayz = 000 (5)

110

El primer vector propio de (Ayz)(Ayz)^T es ($\rho$,0,1) donde $\rho$ es la Razón Áurea que, a su vez, está relacionada con $\pi$ por:

π = (5) cos^-1($\rho$/2) (6)

La Razón Áurea y por lo tanto $\pi$ están por tanto ocultas en los primeros tres caracteres hebreos de Génesis.

Un camino hacia los tres números restantes es un poco más tedioso. Primero, introduzca los vectores columna (202^T,100^T,210^T) y (001^T,201^T,000^T) que representan los segundos tres y terceros tres caracteres en el primer versículo de Génesis. Estos tripletes en base tres crean dos matrices 3 por 3 adicionales:

212

Byz = 001 (7)

200

020

Cyz = 000 (8)

110

Tenga en cuenta que Ayz y Cyz son idénticas, por lo que realmente tenemos sólo dos matrices independientes con 0, 1 y 2 como elementos. Ahora apile estas tres matrices juntas para formar lo que parece un Cubo de Rubik. Cada una de las 15 rebanadas a través del cubo produce un arreglo 3 por 3; tres rebanadas cada una paralela a los planos yz, zx y xy y dos rebanadas diagonales perpendiculares a cada plano (denotadas por X). Cada rebanada puede ser rotada alrededor de varios ejes para producir ocho matrices 3 por 3: grupo diedral de orden ocho (D₄). En este ensayo, sólo se selecciona una matriz para cada rebanada. Estas 15 matrices pueden entonces combinarse por multiplicación de matrices para formar

yz = Ayz.Byz.Cyz.Xyz.Xzy

zx = Azx.Bzx.Czx.Xzx.Xxz (9)

xy = Axy.Bxy.Cxy.Xxy.Xyx

Finalmente, para crear simetría,

x = yz.yz^T

y = zx.zx^T (10)

z = xy.xt^T

Ahora use las instrucciones en la publicación “Characteristic polynomial and higher order traces of third order three dimensional tensors,” by Guimei Zhang and Shenglong Hu, Front. Math China 2019, 14(1): 225-237 para crear una ecuación característica de grado 12. Las soluciones no nulas a esta ecuación son 22-6$\sqrt{13}$, 22+6$\sqrt{13}$, -2+2$i\sqrt{3}$, y -2-2$i\sqrt{3}$.

Por pura conjetura, los números 22-6$\sqrt{13}$, 22+6$\sqrt{13}$, 2$\sqrt{3}$ y $\pi$ fueron seleccionados para crear varias series infinitas que satisfacían la Prueba del Cociente y convergían a cero.

¿Cuáles son las implicaciones de todos estos hallazgos? ¿Representan una concurrencia completamente serendípica de física, matemáticas y texto hebreo? ¿O nuestro Dios trascendente, inmanente, infinito, eterno e inmutable nos proporcionó un manual de usuario encriptado dentro de Su inspirada, inerrante e infalible Palabra? El primer versículo de Génesis dice: “En el principio Dios creó la esencia de los cielos y la esencia de la tierra.” Qué lugar más perfecto para encriptar un manual de usuario que revele la física y las matemáticas de esta nueva creación de la nada (bara). Pero ¿por qué Dios se molestaría en encriptar un mensaje dentro de un mensaje? Una respuesta parcial podría encontrarse en el Nuevo Testamento.

“Porque desde la creación del mundo, las cualidades invisibles de Dios —su poder eterno y naturaleza divina— se han podido ver claramente, siendo entendidas por lo que ha sido hecho, de modo que los hombres no tienen excusa” (Romanos 1:20).

Sólo se han usado los primeros nueve caracteres de Génesis en este artículo. Las palabras concatenadas de la Torá comprenden una cadena de 304,805 caracteres hebreos. ¿Qué misterios podrían estar encriptados en ella?