计算无量纲物理常数

作者 Dr. Bruce D. McLaughlin

通过计算精细结构常数来说明计算无量纲物理常数的算法。该计算基于代数，不采用物理学原理。

引言

无量纲物理常数是用纯数表示的空间、时间、物质和能量的基本数值特征。由于它们在度量单位变化下本质上不变，这类常数在物理学中起着核心作用。历史上，这些常数是基础性的，因为它们无法从基本原理导出。然而，在1920年代，亚瑟·爱丁顿（Arthur Eddington）提出无量纲物理常数或可从纯数学中获得的想法。宇宙的运行可能完全从抽象的、无单位的数学中显现出来，而不需要经验证据，除非用于建立计算的起点。爱丁顿的努力总体上并不成功。本文旨在复兴他的想法并将其推进到下一个层次。用于说明的例子是以$\alpha$表示的精细结构常数。如果所提出的猜想在方向上是正确的，那么亚瑟·爱丁顿在此问题上将被证明是正确的。

分析

根本猜想是至少存在一个以变量$\omega$（无量纲物理常数）为自变量的无限幂级数，其中$1>\omega >0$，形式为

$\mathrm{\Delta }$($\omega$) = ${\sum }_{n=1}^{\infty }{F}_n$($\tau ,\phi ,\omega )$ = 0 (1)

该幂级数收敛到零并满足收敛的比值判别法。$\tau$和$\phi$代表四个数中的两个，$\pi$、22-6$\sqrt{13}$、2$\sqrt{3}$和22+6$\sqrt{13}$。选择这些特定数字的理由将在后文讨论，但其他数对也可能同样合适。

级数的第一项是$-{\omega }^{-1}$。第二项是${\tau }^x{\phi }^y$，其中选择x和y以使$-{\omega }^{-1}$ + ${\tau }^x{\phi }^y$尽可能接近零。第三项是$\tau$和$\phi$的一个简单函数，乘以$\omega$以使$-{\omega }^{-1}$ + ${\tau }^x{\phi }^y$ + $f(\tau ,\phi )\omega$尽可能小。其余每一项的形式为${\tau }^{\theta }{\phi }^{\vartheta }{\omega }^{\mu }$，其中$\mu$是一个随每一项递增1的正整数。如果$\tau >1$则$\theta$为正整数；如果$\tau <1$则$\theta$为负整数。如果$\phi >1$则$\vartheta$为正整数；如果$\phi <1$则$\vartheta$为负整数。通过选择，$\tau >\phi$。

可以使用任意已知精度的$\omega$作为起点。对于第三项之后的每一项，${\omega }^{\mu }$被视为${\tau }^{\theta }{\phi }^{\vartheta }{\omega }^{\mu }$中的一个因子。计算${\omega }^{\mu },\left|\theta \right|$后增大${\tau }^{\theta +1}{\omega }^{\mu }(or{\tau }^{\theta -1}{\omega }^{\mu }$（如果$\theta$为负）直到其绝对值略大于前一和的幅值。换言之，${\tau }^{\theta }{\omega }^{\mu }isbarelylessthanthemagnitudeoftheprevioussum.$。接着，增大$\left|\vartheta \right|$直到${\tau }^{\theta }{\phi }^{\vartheta }{\omega }^{\mu }$的值略小于前一和的幅值。换言之，${\tau }^{\theta }{\phi }^{\vartheta +1}{\omega }^{\mu }$的值略大于前一和的幅值。最后，为该项赋予一个符号以确保下一个和的幅值小于其前任。这一规则是明确的，并为每一索引产生唯一的一项，使级数在数学上合法。该规则也强制级数满足比值判别法并收敛到零。

这一用于计算无量纲物理常数的框架代表一种自洽的、准不动点模型，其中某一特定常数通过其项依赖于常数本身的级数隐式地被定义。

精细结构常数

对于精细结构常数，方程(1)可写为：

$\mathrm{\Delta }$($\alpha$) = ${\sum }_{n=1}^{\infty }{F}_n$($b,\pi ,\alpha )$ = 0 (2)

该式收敛到零并满足比值判别法。变量 b = 22+6$\sqrt{13}$ 和 $\pi$ = 3.141592... 是独立参数，$\pi b$ = 137.078…，这近似等于 ${\alpha }^{-1}$ = 137.035… 用于说明猜想的方程(3)中的级数是使用对精细结构常数的粗略估计 $\alpha =0.007297$ 构造的。

$\mathrm{\Delta }\left(\alpha \right)$ = ${-\alpha }^{-1}$ + $b\pi$ – $(2\pi -3/2)\alpha$ - ${\pi }^2{\alpha }^2$ + b${\alpha }^3$ - $b^2{\pi }^2{\alpha }^4$+ $b^2{\pi }^4{\alpha }^5$ ... (3)

级数中其余每一项的形式为$b^{\theta }{\pi }^{\vartheta }{\alpha }^{\mu }$，且每一连续项将$\mu$的值增加1。级数的最后一项为$b^{28}{\pi }^2{\alpha }^{35}$。方程(2)不直接适用，因为(3)中的级数并非无限。相应地，使用了方程

$\mathrm{\Delta }$($\alpha$) = ${\sum }_{n=1}^{37}{F}_n$($b,\pi ,\alpha )$ = $R_1$ (4)

其中$R_1$可以视为一个余项。用粗略估计$\alpha =0.007297$评估该截断级数时，余项$R_1$等于 -2.732$\times {10}^{-29}$。现在将$\alpha$的精度提高一位到0.0072973；余项$R_2$变为0.0056324888.... 接着再将$\alpha$的精度提高一位到0.00729735；余项$R_3$变为0.0065711919.... 该计算可以继续到大约$\alpha$ = 0.007297352564311 的精度水平，此时产生的余项为$R_{10}$ = 0.0066193341.... 这接近于当前对 $\alpha .$ 的精确度水平。

根据根本猜想，序列 $R_1$、$R_2$、$R_3$、$R_3$、$R_4$、... 有一个上界 R。该上界由 Mathematica 计算为：

R = $0.00661934636627880927661760068759$

这对应的精细结构常数值为：

$$0.00729735256496044196828721304695258401433871295628262761655433$$

与 Fan 等人在2023年2月给出的值比较为：

0.0072973525649(8)

基于 b、$\pi$和$\alpha$构建的无限级数可能使精细结构常数通过代数运算以任意精度计算出来。这或许能回应费恩曼（Feynman）的一些关注。如果无量纲物理常数的起源是相对简单的无限级数，而非量子力学、弦理论和相对论的深奥内部，那么所有的奥秘都来自数学。

立刻你会想知道这个耦合常数的数字来自何处：它是否与π有关，或许与自然对数的底数有关？没人知道。这是物理学上最大的该死的谜团之一：一个对人类来说没有理解的神奇数字。你可以说“上帝之手”写下了那个数字，“我们不知道他如何动了他的铅笔。”我们知道实验上如何以很高精度测量这个数字，但我们不知道在计算机上如何通过正确的操作让这个数字出现——除非偷偷地把它放进去！ Feynman, R. P. (1985). QED: 光与物质的奇异理论. Princeton University Press. p. 129. ISBN 978-0-691-08388-9

参数的来源

尽管作者在选择数字 $\pi$、22-6$\sqrt{13}$、2$\sqrt{3}$ 和 22+6$\sqrt{13}$ 作为 $\tau$ 和 $\phi$ 的潜在值时有特定理由，读者不必接受该理由的正当性即可接受本文所提出猜想的正当性。换言之，读者可以将这四个数字视为偶然的猜测，而不会影响确定无量纲物理常数的算法。然而，事实上，这四个数字是从希伯来圣经《创世记》的前九个字符中提取出来的。

让我们从 $\pi$ 开始。首先将《创世记》第一章的字符序列反转，使字符从左到右读取。接着取创世记第一节的前三个连续字符形成一个字符串。现在按照从阿列夫（Aleph）为 (000)^T 到最终的萨德（Tsadey Final）为 (222)^T 的规则，用基数3的三元组（列向量）表示每个希伯来字符。这三个列向量是 (001^T,201^T,000^T)。这三个基3三元组构成了一个元素为0、1和2的3×3矩阵：

020

Ayz = 000 (5)

110

(Ayz)(Ayz)^T 的第一个特征向量是 ($\rho$,0,1)，其中$\rho$是黄金分割比，进而与$\pi$通过以下关系相关：

π = (5) cos^-1($\rho$/2) (6)

因此，黄金分割比及$\pi$被隐藏在《创世记》的前三个希伯来字符中。

得到剩余三个数字的路径稍微复杂一些。首先，引入列向量 (202^T,100^T,210^T) 和 (001^T,201^T,000^T)，分别代表创世记第一节的第二组三个和第三组三个字符。这些基三三元组产生另外两个3×3矩阵：

212

Byz = 001 (7)

200

020

Cyz = 000 (8)

110

注意 Ayz 和 Cyz 是相同的，所以我们实际上只有两个独立的元素为0、1和2的矩阵。现在将这三个矩阵堆叠在一起，形成看起来像魔方的结构。通过立方体的每一条切片都会产生一个3×3阵列；每个平行于 yz、zx 和 xy 平面的方向有三条切片，以及每个平面垂直的两条对角切片（记作 X）。每一切片可以绕不同轴旋转以产生八个3×3矩阵：八阶二面体群（D₄）。在这一试验中，每一切片只选择一个矩阵。这15个矩阵随后可以通过矩阵相乘组合形成

yz = Ayz.Byz.Cyz.Xyz.Xzy

zx = Azx.Bzx.Czx.Xzx.Xxz (9)

xy = Axy.Bxy.Cxy.Xxy.Xyx

最后，为了创造对称，

x = yz.yz^T

y = zx.zx^T (10)

z = xy.xt^T

现在使用 Guimei Zhang 和 Shenglong Hu 在 Front. Math China 2019 年发表的论文 “Characteristic polynomial and higher order traces of third order three dimensional tensors” 中的指示，创建一个 12 次特征方程。该方程的非零解为 22-6$\sqrt{13}$, 22+6$\sqrt{13}$, -2+2$i\sqrt{3}$， 和 -2-2$i\sqrt{3}$。

纯属猜测的是，数字 22-6$\sqrt{13}$, 22+6$\sqrt{13}$, 2$\sqrt{3}$ 和 $\pi$ 被选来创建满足比值检验并收敛于零的各种无穷级数。

所有这些发现有什么含义？它们是物理学、数学和希伯来文本完全偶然的一致吗？还是我们的超越的、内在的、无限的、永恒不变的上帝在祂受感动、无误且不可错谬的话语中为我们提供了一本加密的用户手册？创世记的第一节说：“起初上帝创造了诸天的本质和地的本质。”这是一个在新的从无创造(bara)中加密揭示物理学和数学用户手册的完美位置。但上帝为何要在信息中再加密一条信息呢？部分答案或许可以在新约中找到。

“自从创造世界以来，神的看不见的事——就是他那永恒的权能和神性——通过所造之物被明明地看见，被人所认识，所以他们无可推诿”（罗马书 1:20）。

在本文中仅使用了创世记的前九个字符。托拉的连贯词语由 304,805 个希伯来字符组成。其中可能加密了怎样的奥秘？