Solo se utiliza lógica clásica, a diferencia de la síntesis dialéctica hegeliana, en este libro: (a) ß es ß, (b) ß no es no-ß y (c) α es o ß o no-ß, donde α y ß son sustantivos (personas, lugares o cosas). Esto se puede expresar de otra manera escribiendo una oración llamada la tesis (α es ß) y otra oración llamada la antítesis (α no es-ß).

Dada cualquier tesis y su antítesis, una es verdadera, la otra es falsa y la decisión debe basarse en evidencia.

El concepto de tesis/antítesis se puede iluminar utilizando el lenguaje de la teoría de probabilidades. Considera un espacio muestral que comprende el conjunto de todas las elecciones o resultados posibles. Cada elección individual se llama un punto muestral. Si el espacio muestral es discreto -- los puntos muestrales se pueden contar -- entonces ß es cualquiera, pero no más de uno, de los puntos muestrales. no-ß es el complemento de ß que contiene todos los puntos muestrales excepto ß. La tesis (α es ß) significa que α corresponde al punto muestral ß. La antítesis (α no es-ß) significa que α corresponde a uno de los puntos muestrales en no-ß.

Si el espacio muestral es no discreto -- no contablemente infinito -- entonces tiene tantos puntos como números reales correspondiendo a los puntos en un intervalo de línea como 0 <= x <= 1 denotado por γ. ß es cualquier subintervalo de γ y no-ß corresponde a todos los puntos en γ no contenidos en ß. La tesis (α es ß) significa que α corresponde a uno de los puntos en ß. La antítesis (α no es-ß) significa que α corresponde a uno de los puntos en no-ß.

Esta es la lógica de los absolutos y no permite que α sea una síntesis, que es ni, ß ni no-ß. Considera, por ejemplo, la tesis (mi altura es 1.70 a 1.71 metros) y su antítesis (mi altura no es-1.70 a 1.71 metros). Una es verdadera; la otra es falsa. Ninguna tercera opción es racional como (mi altura es 1.70 a 1.71 metros para algunos pero no-1.70 a 1.71 metros para otros porque "la verdad" es personal).

Una tesis puede expresarse en formatos variantes pero siempre puede convertirse a la forma (α Ω ß) donde Ω representa cualquier tiempo del verbo "ser." Por ejemplo, (Jesús existió) puede convertirse en (Jesús fue un hombre).

La expresión antitética (α no es-ß) significa que α corresponde a un miembro de un conjunto que no incluye ß. Si no-ß contiene más de un miembro, el único miembro que es equivalente a α no está especificado. Por ejemplo, si α = 1 y ß = 2, la tesis y la antítesis se convierten en (1 es 2) y (1 no es-2). La antítesis establece que 1 es un miembro del conjunto de todos los enteros no incluyendo 2. Esta es una declaración verdadera pero carece de la especificidad operativa de las declaraciones análogas (1 no es 2) y no-(1 es 2). Desde un punto de vista operativo, la expresión (α Ω no-ß) puede ser reformulada de manera más útil como (α Ω-no ß) o no-(α Ω ß).

Esto puede ilustrarse, por analogía, utilizando un lenguaje de programación llamado C. En este lenguaje, los símbolos ==, != y ! representan los operadores relacionales "igual a" y "no igual a" y el operador lógico "no" respectivamente. Las expresiones (α != ß) y !(α == ß) siempre evalúan al mismo entero: uno si es verdadero y cero si es falso. Sin embargo, la expresión (α == !ß) puede no evaluar a ese mismo entero porque !ß siempre se asigna el valor uno si ß = 0 y cero de otra manera. Por ejemplo, si α = 1 y ß = 0 entonces (α != ß), !(α == ß) y (α == !ß) evalúan a 1, 1 y 1 respectivamente. Sin embargo, si α = 1 y ß = 2, las tres expresiones evalúan a 1, 1 y 0. Para eliminar la ambigüedad, la antítesis se expresará como (α Ω-no ß) o no-(α Ω b) en el resto de este libro.

Las tesis y antítesis pueden unirse mediante dos operadores lógicos llamados "y" y "o" para formar conjunciones y disyunciones respectivamente. Si (x, y) representan dos tesis, dos antítesis o una tesis y una antítesis, entonces la tabla de verdad para estos operadores lógicos se da en la Tabla 1.

Tabla 1. Tabla de verdad para los operadores lógicos "y" y "o"

x y x y x o y
1 1 1 1
1 0 0 1
0 1 0 1
0 0 0 0

Basado en la Tabla 1, no-(x y) = no-x o no-y y, de manera similar, no-(x o y) = no-x y no-y. El signo igual indica equivalencia; ambos lados tienen la misma tabla de verdad.

Si A y B representan tesis y antítesis combinadas lógicamente [por ejemplo, A = x o (no-y y z); B = u y no-v], entonces A puede conectarse a B para formar la oración "si A entonces B" (enunciado condicional). En tal enunciado, A y B pueden ser diferentes maneras de expresar exactamente la misma idea. Si es así, la oración "si A entonces B" es un tipo de tautología -- siempre es verdadera. Por el contrario, si A y B expresan ideas diferentes, entonces el enunciado "si A entonces B" se considera verdadero a menos que A sea verdadero y B sea falso.

"Si A entonces B" también puede expresarse como "B si A" y "A solo si B." La expresión "A si y solo si B" (enunciado bicondicional) es verdadera cuando tanto "si A entonces B" como su inversa "si B entonces A" son verdaderas. Finalmente, el enunciado "si A entonces B" y su contraposición "si no-B entonces no-A" son equivalentes como se muestra en la Tabla 2.

Tabla 2. Tabla de verdad para enunciados condicionales, bicondicionales y contraposiciones

A B si A entonces B A si y solo si B si no-B entonces no-A
1 1 1 1 1
1 0 0 0 0
0 1 1 0 1
0 0 1 1 1

Aunque los conceptos formales de negación, conjunción, disyunción, condicional y bicondicional no se desarrollaron hasta principios del siglo XIX, ninguno de estos conceptos es contraintuitivo y el razonamiento, basado en ellos, es característico de documentos históricos como la Biblia cristiana.